(本试卷共4 页,21 小题,满分150 分。考试用时120 分钟)
注意事项:非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以
上要求作答的答案无效。
一、选择题(每小题5 分,总50 分)
1.已知集合M x | x 3, 2 N x | x 6x 8 0 ,则M N ( )
A. B .x | 0 x 3 C.x |1 x 3 D.x | 2 x 3
2.已知命题P 是:“对任意的xR, 3 2 x x 1≤0”,那么p 是 ( )
A.不存在xR, 3 2 x x 1≤0 B.存在xR, 3 2 x x 1≤0
C.存在xR, 3 2 x x 1 0 D.对任意的xR, 3 2 x x 1 0
3. 2 y (sin x cos x) 1是( )
A. 最小正周期为2π 的奇函数 B. 最小正周期为2π 的偶函数
C. 最小正周期为π 的奇函数 D. 最小正周期为π 的偶函数
4.设x, yR,则“x 2且 y 2”是“ 2 2 x y 4”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
5 若
1
2
1
( )
log (2 1)
f x
x
,则 f (x)的定义域为( )
A.
1
( , 0)
2
B.
1
( , )
2
C.
1
( ,0) (0, )
2
D.
1
( , 2)
2
6. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)( A>0,ω>0,
2
0
)
的部分图象如图所示,则f(0)的值是( )
A.
2
3
B.
4
3
C.
2
6
D.
4
6
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7. 在平面直角坐标系中,不等式组
0
4 0
1
x y
x y
x
表示的平面区域面积是( ).
A.3 B.6 C.
9
2
D.9
8. 已知
3
1
)
4
sin(
,则)
4
cos(
的值等于( )
A. 2
3
2
B. 2
3
2
C.
3
1
D.
3
1
9. 已知函数 x 1 y a (a 0,且a 1)的图象恒过定点 A,若点A在函数 y mx n的图象上,
其中m,n 0,则
1 1
m n
的最小值为
A.1 B.4 C. 2 D.2
10.
6, 10
2
1
| lg |,0 10
( )
x x
x x
已知函数f x , 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc
的取值范围是( )
A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)
二、填空题(每小题5 分,总20 分,其中14、15 题为选做题)
11.已知函数
( 1) 2, ( 4)
2 , ( 4)
( )
f x x
x
f x
x
, 则 f (5) = _____________.
12. cos24 cos36 cos66 cos54 的值等于________.
13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体
的体积是
14.(坐标系与参数方程选做题)过点(2, )
3
且平行于极轴的直线的极坐标方程为_ _.
15.(几何证明选讲选做题)已知PA 是圆O的切线,切点为A
直线PO交圆O于B,C 两点,AC 2,PAB 120 ,则圆O的
面积为 .
三、解答题(共80 分)
16.(本小题满分12 分)已知函数( ) sin( ) sin( )
2
f x x x
,
(1)求函数 f (x)的最小正周期;
P
A
B
O C
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(2)求 f (x)的最大值和最小值;
(3)若
1
( )
4
f x ,求sin 2x 的值
17.(本小题满分12 分)
一个盒子中装有4 张卡片,每张卡片上写有1 个数字,数字分别是1、2、3、4,现从盒子中随机抽
取卡片.
(1)若一次从中随机抽取3 张卡片,求3 张卡片上数字之和大于或等于7 的概率;
(2)若第一次随机抽1 张卡片,放回后再随机抽取1 张卡片,求两次抽取中至少一次抽到数字2 的
概率.
18.(14 分)如图,四棱锥P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点E、
F 分别为棱AB、PD 的中点.
(1)求证:AF∥平面PCE;(2)求证:平面PCE⊥平面PCD;
19.(本小题满分14 分) 已知函数f(x) =x2—lnx.
(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调递减区间:
(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax, a>0,若x∈ (O,e]时,g(x)的最小值是3,求实数a 的值.
(e 是为自然对数的底数)
E
F
B
A
C
D
P
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20.(本小题满分14 分)在经济学中,函数 f (x)的边际函数Mf (x)定义为Mf (x) f (x 1) f (x),
某公司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元,成本为C(x) 元,且 2 R(x) 3000x 20x ,
* C(x) 600x 4000(xN ),现已知该公司每月生产该产品不超过100台,(利润=收入-成本)
(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x);
(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差。
21. (本小题满分14 分)设函数2 f (x) aln x bx .
(1)若函数 f (x)在x 1处与直线
2
1
y 相切,
①求实数a ,b 的值;
②求函数 f (x)在
1
[ , e]
e
上的最大值;
(2)当b 0时,若不等式 f (x) m x对所有的
3
[0, ]
2
a , 2 x 1, e 都成立,求实数m的取
值范围.
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2018 届高三数学(理科)期中考试参考答案
一、选择题:
DCCAC CDDBC
二、填空题
11. 12 12.
2
1
13.
2
3
14. sin 3 15.4
16.
17.解:(1)设A 表示事件“抽取3 张卡片上的数字之和大于或等于7”,
任取三张卡片,三张卡片上的数字全部可能的结果是(1、2、3),(1、2、4),(1、3、4),
(2、3、4),共4 种……………………………………………………………………2 分
其中数字之和大于或等于7 的是(1、2、4),(1、3、4),(2、3、4),
共3 种…………………………………………………………………………………4 分
所以P(A)
. ………………………………………………………………………6 分
(2)设B 表示事件“至少一次抽到2”,
每次抽1 张,连续抽取两张全部可能的结果有:(1、1)(1、2)(1、3)(1、4)(2、1)(2、
2)(2、3)(2、4)(3、1)(3、2)(3、3)(3、4)(4、1)(4、2)(4、3)(4、4),共
16 个.………8 分
事件B 包含的结果有(1、2)(2、1)(2、2)(2、3)(2、4)(3、2)(4、2),共7 个………10
分
所以所求事件的概率为P(B)
. ………………………………………………12 分
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18. 证明: (1)取PC 的中点G,连结FG、EG,
∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG
2
1
// CD …………1 分
∵四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点
∴AB
2
1
// CD ∴FG // AE ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF∥EG ………3 分
又EG 平面PCE,AF 平面PCE ∴AF∥平面PCE …………6 分
(2)∵ PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD,PA⊥CD,又AD⊥CD,PAAD=A
∴CD⊥平面ADP,又AF 平面ADP ∴CD⊥AF …………8 分
直角三角形PAD 中,∠PDA=45°
∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA=AD=2
∵F 是PD 的中点,∴AF⊥PD,又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD …………11 分
∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD …………12 分
又EG 平面PCE ∴平面PCE⊥平面PCD …………14 分
19.
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20
21. 解:(1)① '( ) 2
a
f x bx
x
∵函数 f (x)在x 1处与直线
1
2
y 相切
'(1) 2 0
1 ,
(1)
2
f a b
f b
解得
1
1
2
a
b
…………3 分
②
2
2 1 1 1
( ) ln , '( )
2
x
f x x x f x x
x x
当
1
x e
e
时,令 f '(x) 0得 1
1
x
e
;
令 '( ) 0 f x ,得 e x 1
1 ,
1
( )
e
f x 在 上单调递增,在[1,e]上单调递减,
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max
1
( ) (1)
2
f x f …………8分
编辑者:福州家教(福州家教网)